在科學(xué)中，最簡(jiǎn)單的解釋往往蘊(yùn)含著最多的真理，這一概念被稱為"奧卡姆剃刀"。幾個(gè)世紀(jì)以來(lái)，這一原則一直影響著科學(xué)思想，但在處理抽象概念時(shí)，我們?cè)撊绾卧u(píng)估它們呢？在一篇新論文中，來(lái)自加州大學(xué)圣巴巴拉分校和加州大學(xué)歐文分校的哲學(xué)家討論了如何通過比較科學(xué)理論的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)來(lái)權(quán)衡其復(fù)雜性。

(資料圖)

來(lái)自加州大學(xué)圣巴巴拉分校和加州大學(xué)歐文分校的哲學(xué)家們探討了如何利用科學(xué)理論的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來(lái)評(píng)估這些理論的復(fù)雜性，重點(diǎn)是對(duì)稱性的作用。雖然他們懷疑僅憑對(duì)稱性就能對(duì)復(fù)雜性進(jìn)行全面比較，但他們注意到對(duì)稱性在理解理論內(nèi)在結(jié)構(gòu)方面的作用，并建議未來(lái)對(duì)不同種類的對(duì)稱性進(jìn)行探索。

他們的目的是利用對(duì)稱性來(lái)描述理論結(jié)構(gòu)的數(shù)量--或者說(shuō)一個(gè)物體在發(fā)生其他變化時(shí)保持不變的方面。

經(jīng)過反復(fù)討論，作者最終懷疑對(duì)稱性能否提供他們所需的框架。不過，他們確實(shí)揭示了為什么對(duì)稱性是理解結(jié)構(gòu)的絕佳指南。他們的論文發(fā)表在《綜合》（Synthese）雜志上。

"科學(xué)理論通常不會(huì)把自己的解釋寫在袖子上，所以很難說(shuō)清楚它們到底在告訴你這個(gè)世界什么，"第一作者、加州大學(xué)圣巴巴拉分校哲學(xué)系副教授托馬斯-巴雷特（Thomas Barrett）說(shuō)，"尤其是現(xiàn)代理論。尤其是現(xiàn)代理論。每過一個(gè)世紀(jì)，它們就會(huì)變得更加數(shù)學(xué)化。了解不同理論中的結(jié)構(gòu)數(shù)量可以幫助我們理解它們?cè)谡f(shuō)什么，甚至讓我們有理由選擇其中一種理論。"

結(jié)構(gòu)還能幫助我們識(shí)別兩種觀點(diǎn)是否真的是同一種理論，只是披著不同的外衣。例如，20 世紀(jì)初，維爾納-海森堡和埃爾溫-薛定諤分別提出了兩種量子力學(xué)理論。巴雷特說(shuō)："他們互相憎恨對(duì)方的理論。薛定諤認(rèn)為，他同事的理論"缺乏可視性"。與此同時(shí)，海森堡認(rèn)為薛定諤的理論"令人厭惡"，并聲稱"薛定諤關(guān)于可視性的論述[......]都是廢話"。

不過，雖然這兩個(gè)概念看起來(lái)截然不同，但它們實(shí)際上做出了相同的預(yù)測(cè)。大約十年后，他們的同事約翰-馮-諾依曼證明了這兩個(gè)概念在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的。

蘋果和橘子

研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的常用方法是看它的對(duì)稱性。其原理是，對(duì)稱性越強(qiáng)的對(duì)象結(jié)構(gòu)越簡(jiǎn)單。例如，圓具有無(wú)限多的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性和反射對(duì)稱性，而箭頭只有一個(gè)。從這個(gè)意義上說(shuō)，圓比箭更簡(jiǎn)單，需要的數(shù)學(xué)描述也更少。

作者利用自動(dòng)態(tài)將這一標(biāo)準(zhǔn)擴(kuò)展到更抽象的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。這些函數(shù)比較對(duì)象的各個(gè)部分，從某種意義上說(shuō)，它們彼此"相同"。自動(dòng)態(tài)為我們提供了衡量不同理論結(jié)構(gòu)的啟發(fā)式方法： 越復(fù)雜的理論，其自形性越少。

2012 年，兩位哲學(xué)家提出了一種比較不同理論結(jié)構(gòu)復(fù)雜性的方法。當(dāng)且僅當(dāng) X 的自變量是 Y 的自變量的子集時(shí)，一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象 X 的結(jié)構(gòu)至少和另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象 Y 的結(jié)構(gòu)一樣多。現(xiàn)在將它與一個(gè)涂有一半紅色的圓進(jìn)行比較。由于在系統(tǒng)中添加了額外的結(jié)構(gòu)，陰影圓現(xiàn)在只具有原來(lái)的一些對(duì)稱性。

這是一個(gè)很好的嘗試，但它過于依賴物體具有相同類型的對(duì)稱性。這對(duì)形狀來(lái)說(shuō)很有效，但對(duì)更復(fù)雜的數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)就失效了。

新加坡國(guó)立大學(xué)的艾薩克-威廉試圖解決這一敏感性問題。我們應(yīng)該能夠比較不同類型的對(duì)稱組，只要我們能找到它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，保留每個(gè)對(duì)稱組的內(nèi)部框架。例如，給藍(lán)圖貼標(biāo)簽可以在圖片和建筑物之間建立一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而保留建筑物的內(nèi)部布局。

這種變化使我們能夠比較截然不同的數(shù)學(xué)理論結(jié)構(gòu)，但也會(huì)得出錯(cuò)誤的答案。"巴雷特說(shuō)："不幸的是，威廉走得太遠(yuǎn)了。不是任何對(duì)應(yīng)關(guān)系都能做到的。"

具有挑戰(zhàn)性的努力

在他們最近的論文中，巴雷特和他的合著者JB-曼查克（JB Manchak）和詹姆斯-韋瑟拉爾（James Weatherall）試圖通過限制他們將考慮的對(duì)稱性或自動(dòng)變形的類型來(lái)挽救他們同事的進(jìn)步。也許只有由底層對(duì)象（如圓和箭頭）而非它們的對(duì)稱群產(chǎn)生的對(duì)應(yīng)關(guān)系才是正確的。

不幸的是，這一嘗試也失敗了。事實(shí)上，用對(duì)稱來(lái)比較數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)似乎在原理上是注定要失敗的?？紤]一個(gè)不對(duì)稱的形狀。也許是墨跡。世界上有不止一種墨跡，它們都完全不對(duì)稱，彼此完全不同。但是，它們都有相同的對(duì)稱組--即"無(wú)"--因此，所有這些系統(tǒng)都將墨跡歸類為具有相同的復(fù)雜性，即使有些墨跡比其他墨跡亂得多。

這個(gè)墨跡的例子揭示出，我們不能僅僅通過觀察一個(gè)物體的對(duì)稱性來(lái)判斷其結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性。正如巴雷特所解釋的那樣，一個(gè)物體的對(duì)稱性數(shù)量以零為底線。但一個(gè)物體的復(fù)雜性卻沒有相應(yīng)的上限。這種不匹配造成了結(jié)構(gòu)復(fù)雜性上限的假象。

作者由此揭示了真正的問題所在。對(duì)稱性概念在描述結(jié)構(gòu)方面非常強(qiáng)大。然而，它并不能捕捉到數(shù)學(xué)對(duì)象及其所代表的科學(xué)理論的足夠信息，從而無(wú)法對(duì)復(fù)雜性進(jìn)行全面的比較。尋找一個(gè)能做到這一點(diǎn)的系統(tǒng)將繼續(xù)讓學(xué)者們忙碌不已。

一線希望

雖然對(duì)稱性可能無(wú)法提供作者所希望的解決方案，但他們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)關(guān)鍵的洞察力： 對(duì)稱性觸及了物體自然、有機(jī)地具備的概念。這樣，它們就可以用來(lái)比較不同理論和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。巴雷特說(shuō)："這個(gè)想法給了一個(gè)直觀的解釋，為什么對(duì)稱性是結(jié)構(gòu)的良好指南。"作者寫道，即使哲學(xué)家們不得不放棄使用自動(dòng)態(tài)來(lái)比較結(jié)構(gòu)，這個(gè)想法也值得保留。

幸運(yùn)的是，自形并不是數(shù)學(xué)中唯一的對(duì)稱。例如，我們可以研究局部區(qū)域的對(duì)稱性，并對(duì)其進(jìn)行比較，而不是只關(guān)注全局對(duì)稱性。巴雷特目前正在研究這將導(dǎo)致什么結(jié)果，并致力于描述用一種結(jié)構(gòu)定義另一種結(jié)構(gòu)的含義。

盡管我們還沒有弄清這一點(diǎn)，但這篇論文給哲學(xué)家們提供了一個(gè)目標(biāo)。我們不知道在通往理解之巔的這一充滿挑戰(zhàn)的攀登過程中，我們走了多遠(yuǎn)。前方的道路迷霧重重，甚至可能根本沒有山頂可言。但是，對(duì)稱性為我們繼續(xù)攀登提供了一個(gè)錨。

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